De noties “eindig”, “aftelbaar”, “aftelbaar oneindig”, en “overaftelbaar oneindig”.
De notie “bijna alle” (Eng.: “almost all”) in de context van 1) een aftelbaar oneindige verzameling 2) een overaftelbaar oneindige verzameling.
Definitie van aftelbaarheid dmv. injectie; definitie van aftelbaarheid dmv. surjectie.
Combinaties van aftelbare verzamelingen zijn vaak weer aftelbaar: Hilbert's hotel; een aftelbaar Cartesisch product van eindige verzamelingen is een uitzondering hierop, die is vaak overaftelbaar.
Eigenschappen van Cantor's kam.
Het interval (0, 1) is overaftelbaar.
Het verschil tussen discrete en continue verzamelingen (ℕ en ℤ en ℚ enerzijds en ℝ anderzijds); het verschil tussen discrete en continue wiskunde (sommeren en differentievergelijkingen enerzijds, en integreren en differentiaalvergelijkingen anderzijds).
Bi-jectie, gelijkmachtigheid, de notatie ∼, het feit ℝ ∼ (0, 1).
Injectie, inbedding, het symbool ≼; de stelling van Schröder-Bernstein: als A ≼ B en B ≼ A, dan A ∼ B.
Machtsverzameling (Eng.: power set), notaties 2A en ℘(A); het feit |2A| = 2|A| voor eindige verzamelingen; de notatie BA voor de verzameling van alle functies van A naar B.
De Stelling van Cantor die zegt dat elke verzameling minder elementen heeft dan haar machtsverzameling.
De rij kardinaalgetallen ℵ0, ℵ1, ℵ2, ... (“Aleph-nul, Aleph-één, Aleph-twee, ...”). Je niet hoeft te weten hoe de rij kardinaalgetallen voorbij oneindig wordt afgeteld.
Het kardinaalgetal ℵ0 vertegenwoordigt de klasse van aftelbaar oneindige verzamelingen. De notie “aftelbaar oneindig” correspondeert dus met een kardinaalgetal. De noties “eindig” en “overaftelbaar oneindig” daarentegen niet. (*)
Het kardinaalgetal c =Def |ℝ|. De vette c (“fraktur c”) staat dus voor de grootte van ℝ.
(*) Let hier op als naar de grootte van een verzameling wordt gevraagd. Bij overaftelbare verzamelingen is het antwoord dus nooit “overaftelbaar” maar in bijna alle gevallen |ℝ|, tenzij over idioot grote verzamelingen wordt gepraat.
Het verschil tussen kans 1 en zeker (en tussen kans 0 en onmogelijk). Simpel voorbeeld: nooit kop gooien bij het oneindig vaak opgooien van een munt; de realisatie MMMMMMMMM... is mogelijk maar P{ MMMMMMMMM... } = 0. Andere voorbeelden: toevallig een roosterlijn prikken in ℝ2, toevallig een breuk treffen in ℝ.
De betekenis van “bijna alle” en “bijna zeker”.
Kunnen
De aftelbaarheid van een verzameling aantonen, bijvoorbeeld informeel met de zig-zagmethode, of formeel door het construeren van een injectie (of een surjectie de andere kant op).
Voorbeelden van overaftelbare verzamelingen geven.
Cantor's diagonaalargument reproduceren, en ook ingaan op tegenwerpingen (“ja, maar dan doe je dat laatste getal er toch bij!”, “ja, maar wat met 0.1999999.. en 0.2?”).
Intervallen uit ℝ gelijkmachtig praten. (Kan vaak maar niet altijd met lineaire functies.)
De stelling van Schröder-Bernstein toepassen.
Het bewijs van de Stelling van Cantor (de stelling die zegt dat elke verzameling minder elementen heeft dan haar machtsverzameling) reproduceren.
Uitleggen waarom c = 2ℵ0 door een bi-jectie aan te leggen tussen ℝ en een machtsverzameling van een aftelbaar oneindige verzameling.
Voorbeelden geven van gebeurtenissen die mogelijk zijn en toch kans nul bezitten.
